No se puede jugar a la lotería de los temas en la oposición

Recuerdo el caluroso día de verano que tuve la suerte de leer en una revista llamada Algo 2000 el siguiente problema: «Considérese una mesa perfectamente circular. Eligiendo tres puntos al azar sobre ella y colocando patas idénticas e ideales en dichos puntos, ¿cuál será la probabilidad de que se sostenga?». Ese problema resultó ser una bendición pues me alivió del hastío que me dominaba e hizo que aprendiera —y mucho— de mis continuos fracasos al intentar resolverlo.

Hablamos de probabilidad de forma rigurosa, esto es, enmarcada dentro de las matemáticas: la que demuestra que jugar a la lotería es una decisión necia por lo que uno habría de ser consecuente no comprando lotería ni nada parecido. Pronto llegará la lotería de Navidad, inmejorable momento para llevarlo a la práctica, si sirve de algo; yo llevo haciéndolo desde siempre.

En fin, a lo que vamos: ¿qué tiene esto que ver con la oposición? 5 bolas, 71 temas —en Matemáticas—, llevo preparados 47… ¡y no salió ninguno! ¿Cuánto es de creíble esta afirmación? ¿Cuántos temas tengo que llevar preparados? Lo analizaremos ya que el lector ha tenido la deferencia de llegar hasta aquí.

Sea n el número de temas del temario. Como dijimos n=71 en Matemáticas. Sea m el número de temas que llevamos preparados. Saliendo r bolas, r=5 previsiblemente, entre 1 y n sin reemplazo —un mismo tema no puede salir más de una vez—, ¿qué probabilidad tengo de saber al menos uno? O lo que es lo mismo, la probabilidad de lo contrario a no saberse ninguno de los r extraídos.

Calculemos la probabilidad de no saber ninguno: en la primera bola, para que no sepa el tema tengo n-m candidatos sobre un total de n; para la segunda n-m-1 candidatos sobre un total de n-1; y así hasta la r-ésima bola: n-m-r+1 sobre n-r+1. Al ser las extracciones independientes unas de las otras, debemos hallar el producto de los cocientes anteriores:

Quedando mucho más bonita escrita así:

La probabilidad de saber al menos uno de esos r temas extraídos será pues p=1-q.

A modo de ejemplo, esta gráfica muestra la probabilidad, en tanto por ciento, p, de la especialidad de Matemáticas n=71, r=5 en función del número de temas estudiados m.

Probabilidad (%) de saber, al menos, un tema